Question

已知在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所在的对边，

a

c

=

3

-1，

tanB

tanC

=

2a-c

c

，求∠A、∠B、∠C的度数．

Answer 1

考点：解三角形,正弦定理

专题：解三角形

分析：直接通过切化弦以及正弦定理，求出B的余弦函数值，得到B的大小，利用

a

c

=

3

-1以及

tanB

tanC

=

2a-c

c

，求出C的大小，然后求解A的值即可．

解答： 解：由题意以及正弦定理可知：

tanB

tanC

=

2a-c

c

，化为：

sinBcosC

cosBsinC

=

2sinA-sinC

sinC

，
可得sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，
解得：cosB=

1

2

，∴B=60°．
∵

a

c

=

3

-1，

tanB

tanC

=

2a-c

c

，∴

3

tanC

=

2( 3 c-c)-c

c

=2

3

-3，
tanC=2+

3

．
a2=(

3

-1)2c2，
sin²A=

( 3 -1)2sin2C

sin2C+cos2C

=

( 3 -1)2tan2C

tan2C+1

=

1

2

，∴sinA=

2

2

．A=45°，
∴C=75°．

点评：本题考查正弦定理以及同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．