Question

20．新学年伊始，附中社团开始招新．某高一新生对“大观天文社”、“理科学社”、“水墨霓裳社”很感兴趣．假设他能被这三个社团接受的概率分别为$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$．
（1）求此新生被两个社团接受的概率；
（2）设此新生最终参加的社团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设他被这三个社团接受分别是事件A，B，C．可得P=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}$BC）．
（2）此新生参加的社团数ξ可能取值为0，1，2，3，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式可得分布列与数学期望．

解答 解：（1）设他被这三个社团接受分别是事件A，B，C．
则P=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}$BC）=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{12}$．
（2）此新生参加的社团数ξ可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{12}$，P（ξ=1）=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{3}{8}$，P（ξ=2）=$\frac{5}{12}$，
P（ξ=3）=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{8}$．
故ξ分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{8}$

E（ξ）=0×$\frac{1}{12}$+1×$\frac{3}{8}$+2×$\frac{5}{12}$+3×$\frac{1}{8}$=$\frac{19}{12}$．

点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．