Question

4．若函数f（x）=e^x（mx³-x-2）在区间（2，3）上不是单调函数，则实数m的取值范围是（$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 对函数进行求导，令导函数f′（x）=0在区间（2，3）上有解，然后建立关系式，进行求解即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=e^x（mx³-x-2）+e^x（3mx²-1）=e^x（mx³+3mx²-x-3）=e^x•（mx²-1）（x+3），
若f（x）在区间（2，3）上不是单调函数，
则f′（x）=0在区间（2，3）上有解，
由f′（x）=e^x•（mx²-1）（x+3）=0得mx²-1=0，
即mx²=1，即x²=$\frac{1}{m}$，
则m＞0，此时x=±$\sqrt{\frac{1}{m}}$，
若f′（x）=0在区间（2，3）上有解，
则2＜$\sqrt{\frac{1}{m}}$＜3，平方得4＜$\frac{1}{m}$＜9，即$\frac{1}{9}$＜m＜$\frac{1}{4}$，
故实数m的取值范围是（$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$），
故答案为：（$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，根据函数（x）在区间（2，3）上不是单调函数转化为f′（x）=0在区间（2，3）上有解是解决本题的关键．