Question

如图，在棱长为a的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，AC 与BD相交于点O．
（Ⅰ）求直线 A₁B 与平面ACC₁A₁所成的角； 
（Ⅱ）求二面角 A₁-BD-A 的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）首先根据线面垂直的性质定理，进一步求出线线垂直，AA₁⊥平面ABCD，AA₁⊥BD，AC⊥BD然后求出BD⊥平面A₁ACC₁，进一步求出直线 A₁B 与平面ACC₁A₁所成的角为∠BA₁O，通过运算求出夹角的大小．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，BD⊥平面A₁ACC₁，进一步求出：AO⊥BD，A₁O⊥BD，二面角 A₁-BD-A 的平面角为∠A₁OA，然后通过解直角三角形二面角 A₁-BD-A 平面角的正切值．

解答： 解：（Ⅰ）连结A₁O
在棱长为a的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，AC 与BD相交于点O．
∵AA₁⊥平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，AC⊥BD
BD⊥平面A₁ACC₁
直线 A₁B 与平面ACC₁A₁所成的角为∠BA₁O
在Rt△A₁OB中，
由于正方体的棱长为a
进一步求出：A1B=

2

a，BO=

2

2

a
sin∠BA₁O=

2 2 a

2 a

=

1

2

所以：∠BA₁O=30°
则：直线 A₁B 与平面ACC₁A₁所成的角为30°
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：BD⊥平面A₁ACC₁
∴AO⊥BD，A₁O⊥BD
二面角 A₁-BD-A 的平面角为∠A₁OA
由题中的条件求出：AO=

2

2

a，AA₁=a
tan∠A₁OA=

a

2 2 a

=

2

所以二面角 A₁-BD-A 的正切值为

2

．

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理和性质定理，线面夹角的平面角的求法，二面角的平面角的求法，特殊角的三角函数值，及相关的运算问题．