Question

已知函数f（x）=（x²+ax+b）e^x在点（0，f（0））处的切线方程是y=-2x+1，其中e是自然对数的底数．
（Ⅰ） 求实数a、b的值；
（Ⅱ） 求函数f（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ） 由f（x）=（x²+ax+b）e^x，得f'（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x，因为函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y=-2x+1，故（0，f（0））适合方程y=-2x+1，且f′（0）=-2；联立可得结果．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（x²-3x+1）e^x，f'（x）=（x²-x-2）e^x=（x+1）（x-2）e^x，令f'（x）=0，得x₁=-1或x₂=2．再判断这两点左右导数的符号，求出极值．

解答： （Ⅰ） 由f（x）=（x²+ax+b）e^x，得f'（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x，
因为函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y=-2x+1，
所以

f(0)=1 f′(0)=-2

即

b=1 a+b=-2

解得a=-3，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（x²-3x+1）e^x，f'（x）=（x²-x-2）e^x=（x+1）（x-2）e^x，
令f'（x）=0，得x₁=-1或x₂=2．
当x＜-1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当-1＜x＜2时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞2时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
故当x=-1时，函数f（x）取得极大值，f（x）_极大值=f(-1)=

5

e

；当x=2时，函数f（x）取得极小值，f（x）_极小值=f（2）=-e²．

点评：本题主要考查函数与导数的关系，特别是曲线的切线与函数导数之间的关系，属于中档题．