Question

20．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A=60°，b=2，sinA=$\sqrt{13}$sinB，则向量$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影为（　　）

• A． -1
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 可根据正弦定理，由sinA=$\sqrt{13}sinB$得出a=$\sqrt{13}b$，从而得出a=$2\sqrt{13}$，进一步由正弦定理可求出$sinB=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}$，$cosB=\frac{7}{2\sqrt{13}}$，从而便可求出sinC=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$，从而由正弦定理求出c=8，这样根据投影的计算公式便可求出要求的投影的值．

解答 解：由正弦定理，$\frac{a}{2r}=sinA，\frac{b}{2r}=sinB$，带入$sinA=\sqrt{13}sinB$得：
$a=\sqrt{13}b=2\sqrt{13}$，如图，在△ABC中，$\frac{2\sqrt{13}}{sin60°}=\frac{2}{sinB}$；
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}$，cosB=$\frac{7}{2\sqrt{13}}$；
∴sinC=sin（A+B）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{7}{2\sqrt{13}}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}$
=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$；
∴$\frac{c}{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}}=\frac{2\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$；
解得c=8；
根据条件，$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影为：$|\overrightarrow{AB}|cos60°=c•cos60°=4$．
故选D．

点评 考查正弦定理的应用，sin²B+cos²B=1，三角形的内角和，三角函数的诱导公式，以及两角和的正弦公式，投影的定义及计算公式．