Question

12．函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且对于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（3）如果f（4）=3，f（x-2）+f（x+1）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），令x₁=x₂=1，可求f（1）；
（2）由（1）赋值可求f（-1）=0，进而可求f（-1×x）=f（-x）=f（1）+f（x）=f（x），可得f（x）为偶函数；
（3）由f（4）=3，再由奇偶性和单调性，即可得到不等式组解得即可．

解答 解：（1）对于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=1，f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0，
（2）∵f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=0，
∴f（-1）=0，
则f（-1×x）=f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x）
∴f（x）为偶函数，
（3）∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）且f（4）=3，
∴f（x-2）+f（x+1）≤3，即f[（x-2）（x+1）]≤f（4），
又∵f（x）在（0，+∞）上是增函数且f（x）为偶函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）（x+1）＞0}\\{（x-2）（x+1）≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）（x+1）＜0}\\{（x-2）（x+1）≥-4}\end{array}\right.$
解得：-2≤x＜-1或-1＜x＜2或2＜x≤3，
∴x的取值范围为[-2，-1）∪（-1，2）∪（2，3]．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，以及运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．