Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于不同两点、，且满足条件的点在椭圆上，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出、的值，进而可得出椭圆的标准方程；

（2）设点、，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，再将点的坐标代入椭圆方程，求出的值，进而可得出直线的方程.

（1）由椭圆的离心率为，点在椭圆上，

所以，解得，因此，椭圆的标准方程为；

（2）显然直线的斜率存在，设直线的斜率为，

则直线l的方程为，设，，，

由消去得，

，解得或.

所以，，

因为，所以，，所以，点的坐标为，

将点的坐标代入椭圆的方程得，化简得，解得.

故直线的方程为.