题目内容
若f（x）满足x2f′（x）-2xf（x）=x3ex，f（2）=-2e2．则x＞0时，f（x）（ ）
| A、有极大值，无极小值 |
| B、有极小值，无极大值 |
| C、既有极大值，又有极小值 |
| D、既无极大值，也无极小值 |
考点：利用导数研究函数的极值
专题：导数的综合应用
分析：根据题意，利用导数的运算法则，构造函数F（x），确定函数f（x）的解析式，求出f′（x）=0的点，从而确定它是极小值点．
解答：
解：∵x2f′（x）-2xf（x）=x3ex，
设F（x）=
，
∴F′（x）=
=
=
；
∴x2f′（x）=x3ex+2xf（x）=x3ex+2x3F（x），
∴f′（x）=xex+2xF（x）；
∴f′（2）=2e2+2×2F（2）=2e2+4×（-
e2）=0，
∴x=2是函数f（x）的一个极值点；
设g（x）=f′（x）=xex+2xF（x），
∴g′（x）=ex+xex+2F（x）+2xF′（x）
=ex+xex+2F（x）+2x•
=3ex+xex+2F（x），
∴g′（2）=3e2+2e2+2×（-
）e2=4e2＞0，
x=2是函数f（x）的极小值点；
∴x＞0时，f（x）有极小值，无极大值．
故选：B．
设F（x）=
| f(x) |
| x2 |
∴F′（x）=
| x2f′(x)-2xf(x) |
| x4 |
| x3ex |
| x4 |
| ex |
| x |
∴x2f′（x）=x3ex+2xf（x）=x3ex+2x3F（x），
∴f′（x）=xex+2xF（x）；
∴f′（2）=2e2+2×2F（2）=2e2+4×（-
| 1 |
| 2 |
∴x=2是函数f（x）的一个极值点；
设g（x）=f′（x）=xex+2xF（x），
∴g′（x）=ex+xex+2F（x）+2xF′（x）
=ex+xex+2F（x）+2x•
| ex |
| x |
∴g′（2）=3e2+2e2+2×（-
| 1 |
| 2 |
x=2是函数f（x）的极小值点；
∴x＞0时，f（x）有极小值，无极大值．
故选：B．
点评：本题考查了函数导数的综合应用问题，解题时利用导数的运算法则，适当地构造函数，利用导数求出函数的极值点，是难题．
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