Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁₀=0，S₁₅=25，则nS_n的最小值为（　　）

• A、-47
• B、-48
• C、-49
• D、-50

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知列式求出等差数列的首项和公差，求出前n项和，代入nS_n后利用导数求最小值．

解答： 解：设数列{a_n}的首项为a₁，公差为dd，则S₁₀=10a1+

10×9

2

d=10a1+45d=0，①
SS15=15a1+

15×14

2

d=15a1+105d=25．②
联立①②，得a1=-3，d=

2

3

，
∴Sn=-3n+

n(n-1)

2

×

2

3

=

1

3

n2-

10

3

n．
令f（n）=nS_nnSn，则f(n)=

1

3

n3-

10

3

n2，f′(n)=n2-

20

3

n．
令f′（n）=0，得nn=0或n=

20

3

．
当n＞

20

3

时，f′（n）＞0，0＜n＜

20

3

时，f′（n）＜0，
∴当n=

20

3

时，f（n）取最小值，而nn∈N^*，又ff（6）=-48，ff（7）=-49，
∴当nn=7时，ff（nn）取最小值-49．
故选：C．

点评：本题考查了等差数列的前n项和，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．