Question

抛物线y²＝2px的准线方程为x＝－2，该抛物线上的每个点到准线x＝－2的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线l₁：y＝x和l₂：y＝－x 相切的圆，

(1) 求定点N的坐标；

(2) 是否存在一条直线l同时满足下列条件：

① l分别与直线l₁和l₂交于A、B两点，且AB中点为E(4，1)；

② l被圆N截得的弦长为2.

Answer 1

解：(1) 因为抛物线y²＝2px的准线方程为x＝－2.所以p＝4，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点，所以定点N的坐标为(2，0)．

(2) 假设存在直线l满足两个条件，显然l斜率存在，设l的方程为y－1＝k(x－4)，k≠±1.以N为圆心，同时与直线l₁：y＝x和l₂：y＝－x 相切的圆N的半径为.因为l被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1, 即d＝＝1，解得k＝0或，当k＝0时，显然不合AB中点为E(4，1)的条件，矛盾， 当k＝时，l的方程为4x－3y－13＝0.由 ，解得点A的坐标为(13，13)；由 ，解得点B的坐标为.显然AB中点不是E(4，1)，矛盾，所以不存在满足条件的直线l.