Question

已知函数 f（x）=

2x-1

2x+1

（1）判断函数的奇偶性；  
（2）求该函数的值域；  
（3）解关于x的不等式f（2x-1）＜

1

3

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数的值域,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶的定义即可判断函数的奇偶性；  
（2）根据方式函数的性质即可求该函数的值域；  
（3）结合函数奇偶性和单调性之间的关系即可解不等式f（2x-1）＜

1

3

．

解答： 解：（1）∵f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f（x），∴函数是奇函数；  
（2）f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵2^x+1＞1，∴0＜

2

2x+1

＜2，0＞-

2

2x+1

＞-2，
1＞1-

2

2x+1

＞-1，
即-1＜y＜1，
该函数的值域（-1，1）；  
（3）f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵y=2^x+1为增函数，∴y=

2

2x+1

为减函数，
y=-

2

2x+1

＞为增函数，
∴y=1-

2

2x+1

为增函数，
∵f（1）=

1

3

．
∴不等式f（2x-1）＜

1

3

等价为f（2x-1）＜f（1），
∵函数f（x）为增函数，
∴不等式等价为2x-1＜1．
即2x＜2，解得x＜1，
故不等式的解集为（-∞，1）．

点评：本题主要考查指数型函数的性质，根据函数奇偶性的定义以及指数函数的性质是解决本题的关键．