Question

在数列{a_n}中，a_n＋1＋a_n＝2n－44(n∈N^*)，a₁＝－23.

(1)求a_n；

(2)设S_n为{a_n}的前n项和，求S_n的最小值．

Answer 1

思路分析　由已知条件可推知n应分奇数和偶数．

解析　(1)由a_n＋1＋a_n＝2n－44(n∈N^*)，

a_n＋2＋a_n＋1＝2(n＋1)－44.

∴a_n＋2－a_n＝2，又a₂＋a₁＝2－44，∴a₂＝－19.

同理得：a₃＝－21，a₄＝－17.故a₁，a₃，a₅，…是以a₁为首项、2为公差的等差数列，a₂，a₄，a₆，…是以a₂为首项、2为公差的等差数列．

从而a_n＝

(2)当n为偶数时，

S_n＝(a₁＋a₂)＋(a₃＋a₄)＋…＋(a_n－1＋a_n)

＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2×(n－1)－44]

＝2[1＋3＋…＋(n－1)]－·44＝－22n，

故当n＝22时，S_n取得最小值－242.

当n为奇数时，

S_n＝a₁＋(a₂＋a₃)＋(a₄＋a₅)＋…＋(a_n－1＋a_n)＝a₁＋(2×2－44)＋…＋[2×(n－1)－44]

＝a₁＋2[2＋4＋…＋(n－1)]＋·(－44)

＝－23＋－22(n－1)

＝－22n－.

故当n＝21或n＝23时，S_n取得最小值－243.