Question

15．已知函数f（x）=sin（$\frac{π}{2}$-x）sinx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）讨论f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的单调性，并求出在此区间上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦函数，根据正弦函数的性质来求最小正周期；
（2）根据自变量的取值范围来求正弦函数的值域．

解答 解：（1）f（x）=sin（$\frac{π}{2}$-x）sinx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=cosxsinx+$\frac{\sqrt{3}（1-2co{s}^{2}x）}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
属于T=π．
（2）当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{4π}{3}$]，令2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$得x=$\frac{5π}{12}$，
所以f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]上单调递增，f（x）在[$\frac{5π}{12}$，$\frac{5π}{6}$]上单调递减，
所以f（x）_min=f（$\frac{5π}{6}$）=sin$\frac{4π}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．