Question

5．已知函数f（x）=lnx+a（1-$\frac{1}{x}$），a∈R．
（1）若a=-1，试求f（x）最小值；
（2）若?x≥1都有f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用函数的单调性求解函数的最小值即可．
（2）利用$f（x）=lnx+a（1-\frac{1}{x}）≥0$在x≥1时恒成立，转化$a•\frac{x-1}{x}≥-lnx⇒a•（x-1）≥-xlnx$．通过当x=1时，当x＞1时，令$g（x）≥-\frac{xlnx}{x-1}（x＞1）$，求出函数的导数，令h（x）=lnx-x+1，利用函数的导数以及函数的单调性求解a的范围．

解答 解：（1）当a=-1时，$f（x）=lnx+\frac{1}{x}-1$，$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．
∴当x=1时，f（x）_min=f（1）=0．
（2）$f（x）=lnx+a（1-\frac{1}{x}）≥0$在x≥1时恒成立，$a•\frac{x-1}{x}≥-lnx⇒a•（x-1）≥-xlnx$．
当x=1时，a≥0恒成立，∴a∈R．
当x＞1时，$a≥-\frac{xlnx}{x-1}$．
令$g（x）≥-\frac{xlnx}{x-1}（x＞1）$，（xlnx）'=lnx+1，$g'（x）=\frac{-（lnx+1）（x-1）+xlnx}{{{{（x-1）}^2}}}=\frac{lnx-x+1}{{{{（x-1）}^2}}}$．
令h（x）=lnx-x+1，$h'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}＞0$，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=0．
∴g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增，g（x）＞g（1）．
由洛必达法则：$\lim_{x→{1^+}}\frac{-xlnx}{x-1}=\lim_{x→{1^+}}（-lnx-1）=-1$．
∴g（x）＜-1，
∴a≥-1，即a∈[-1，+∞）．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值以及函数的导数构造法的应用，考查转化思想以及分类讨论思想的应用．