Question

9．给出以下命题：（1）若${∫}_{a}^{b}f（x）dx＞0$，则f（x）＞0；（2）${∫}_{0}^{2x}|sinx|dx=4$；（3）f（x）的原函数为F（x）且F（x）为T为周期的函数，则${∫}_{0}^{T}f（x）dx$=${∫}_{T}^{2T}f（x）dx$；其中正确命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 0

Answer 1

分析 （1）根据微积分基本定理，得出）∫_b^af（x）dx=F（b）-F（a）＞0，可以看到与f（x）正负无关．
（2）注意到sinx在[0，2π]的取值符号不同，根据微积分基本运算性质，化为∫₀^πsinxdx+∫_π^2π（-sinx）dx求解，判断．
（3）根据微积分基本定理，两边分别求解，再结合F（T+T）=F（T），F（T）=F（0）判定．

解答 解：（1）由∫_b^af（x）dx=F（b）-F（a）＞0，得F（b）＞F（a），未必f（x）＞0．（1）错误．
（2）∫₀^2π|sinx|dx=∫₀^π|sinx|dx+∫_π^2π|sinx|dx=∫₀^πsinxdx+∫_π^2π（-sinx）dx=（-cosx）|_0^π+cosx|π^2π=1-（-1）+1-（-1）=4．（2）正确．
（3）∫₀^Tf（x）dx=F（T）-F（0），∫_T^2Tf（x）dx=F（T+T）-F（T）=F（T）-F（0），则${∫}_{0}^{T}f（x）dx$=${∫}_{T}^{2T}f（x）dx$；（3）正确．
正确命题的个数为2，
故选B．

点评 本题考查微积分基本定理，微积分基本运算性质．属于基础题型．