Question

设非直角△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，则下列结论正确的是

 

（写出所有正确结论的编号）．
①“sinA＞sinB”是“a＞b”的充分必要条件；
②“cosA＜cosB”是“a＞b”的充分必要条件；
③“tanA＞tanB是“a＞b”的充分必要条件；
④“sin2A＞sin2B”是“a＞b”的充分必要条件；
⑤“cos2A＜cos2B”是“a＞b”的充分必要条件．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：①根据正弦定理判断，②利用函数y=cosx在（0，π）上单调递减得A＞B，结合三角形的边角关系判断即可．
③特殊值判断：如A为锐角，B为钝角，④如 A=45°，B=60°时不符合，
⑤利用二倍角公式得sin²A＞sin²B，再结合正弦定理判断即可．

解答： 解：由①sinA＞sinB，利用正弦定理得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB，
等价于a＞b，①正确；
由②cosA＜cosB，利用函数y=cosx在（0，π）上单调递减得A＞B，等价于a＞b，②正确； 
由③tanA＞tanB，不能推出a＞b，如A为锐角，B为钝角，虽然有tanA＞tanB，但由大角对大边得a＜b，③错误；
由④sin2A＞sin2B，不能推出a＞b，如 A=45°，B=60°时，虽然有sin2A＞sin2B，但由大角对大边得a＜b，④错误；
由⑤cos2A＜cos2B，利用二倍角公式得sin²A＞sin²B，∴sinA＞sinB，故等价于a＞b，⑤正确．
故答案为：①②⑤

点评：本题考查了解三角形及有关的定理，充分必要条件的定义，属于中档题．