Question

3．已知集合A={x|$\frac{x-7}{x+2}$＞0}，集合B={x|y=lg（-x²+3x+28）}，集合C={x|m+1≤x≤2m-1}．
（1）求（∁_RA）∩B；      
（2）若B∪C=B，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用分式不等式的解法求出集合A，函数的定义域求出集合B，求出A的补集，即可求解结果．
（2）利用并集关系，转化为子集关系，求解m即可．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）集合A={x|$\frac{x-7}{x+2}$＞0}={x|x＞7或x＜-2}，…（2分）
B={x|y=lg（-x²+3x+28）}={x|-4＜x＜7}，…（4分）
所以∁_RA={x|-2≤x≤7}…（5分）
所以（∁_RA）∩B=[-2，7）…（7分）
（2）因为B∪C=B，所以C⊆B…（8分）
①当C=∅时，m+1＞2m-1，即m＜2，此时B⊆A…（10分）
②当C≠∅时，$\left\{\begin{array}{l}{m+1＜2m-1}\\{2m-1＜7}\\{m+1＞-4}\end{array}\right.$，即2≤m＜4，此时B⊆A…（13分）
综上所述，m的取值范围是{m|m＜4}…（14分）

点评 本题考查不等式的解法，函数的定义域，集合的基本运算，考查计算能力．