Question

8．已知a＞b，椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，双曲线C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，C₁与C₂的离心率之积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则C₂的渐近线方程为$x±\sqrt{2}y=0$．

Answer 1

分析 椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，离心率e₁=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$．双曲线C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，离心率e₂=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$．利用C₁与C₂的离心率之积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可得出．

解答 解：椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，离心率e₁=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$．
双曲线C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，离心率e₂=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$．
∵C₁与C₂的离心率之积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$×$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴$1-\frac{{b}^{4}}{{a}^{4}}$=$\frac{3}{4}$，解得$\frac{b}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$．
∴C₂的渐近线方程为$x±\sqrt{2}y=0$．
故答案为：$x±\sqrt{2}y=0$．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．