Question

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2-a_n，n=1，2，3，…．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=$\frac{{n（{3-{b_n}}）}}{2}$，数列{c_n}的前n项和为T_n=$\frac{15}{4}$．求n．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出{a_n}是以1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n+1=b_n+a_n，且a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1．  知b_n+1-b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，由此利用叠加法能求出b_n=3-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．
（3）根据已知条件推知T_n+1-T_n=（4-$\frac{3+n}{{2}^{n}}$）-（4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$）=$\frac{2+n}{{n}^{n-1}}$-$\frac{3+n}{{2}^{n}}$=$\frac{1+n}{{2}^{n}}$＞0，所以求得shiftT_n＜T_n+1恒成立的n的值即可．

解答 解：（1）当n=1时，S₁=a₁=2-a₁，所以a₁=1．
当n≥2时，S_n-1=2-a_n-1，且S_n=2-a_n，
所以a_n=2（2-a_n）-（2-a_n-1）得：a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1，
则数列{a_n}是以1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1．          
（2）由b_n+1=b_n+a_n，且a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴b_n+1-b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
则b₂-b₁=（$\frac{1}{2}$）⁰，b₃-b₂=（$\frac{1}{2}$）¹，b₄-b₃=（$\frac{1}{2}$）²，…，b_n-b_n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-2，
以上n个等式叠加得：b_n-b₁=（$\frac{1}{2}$）⁰+（$\frac{1}{2}$）¹+（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）^n-2=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}$=2[1-（$\frac{1}{2}$）^n-1]
=2-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∵b₁=1，
∴b_n=3-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．
（3）由题意知${c_n}=\frac{1}{2}n（{3-{b_n}}）=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$．                                   
则T_n=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$=$\frac{15}{4}$，
∵T_n+1-T_n=（4-$\frac{3+n}{{2}^{n}}$）-（4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$）=$\frac{2+n}{{n}^{n-1}}$-$\frac{3+n}{{2}^{n}}$=$\frac{1+n}{{2}^{n}}$＞0，
∴T_n＜T_n+1恒成立，
∵T₆=4-$\frac{2+6}{{2}^{6-1}}$=$\frac{15}{4}$，
∴n=6．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意迭代法和叠加法的合理运用．