Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx+$\frac{4}{3}$（a，b是实数），且f′（2）=0，f（-1）=0．
（1）求实数a，b的值；
（2）当x∈[-1，t]时，求f（x）的最大值g（t）的表达式．

Answer 1

分析 （1）直接根据f′（2）=0，f（-1）=0得到关于a，b的方程组，即可解出a，b的值；
（2）利用导数求出f（x）的单调区间，极值点，并通过解方程f（x）=$\frac{4}{3}$，得到特殊点（3，$\frac{4}{3}$），然后结合函数图象，对t分类讨论，分别求出f（x）的最大值即可．

解答 解：（1）f'（x）=x²+2ax+b
∵f'（2）=0，f（-1）=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+4a+b=0}\\{-\frac{1}{3}+a-b+\frac{4}{3}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=0}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}+\frac{4}{3}$，f'（x）=x²-2x=x（x-2），
由f'（x）＞0，得x＜0，或x＞2；由f'（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）在（-∞，0）和（2，+∞）单调递增，在（0，2）单调递减，
所以f（x）_极小值=f（2）=0，$f（x）_{极大值}=f（0）=\frac{4}{3}$
由$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}+\frac{4}{3}=0$，得x=-1，或x=2；
由$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}+\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$，得x=0，或x=3．
结合单调性及极值点，画出图象如下：

结合图象，对t分类讨论：
（1）-1＜t＜0时，f（x）在[-1，t]上单调递增，$f（x）_{max}=f（t）=\frac{1}{3}{t}^{3}-{t}^{2}+\frac{4}{3}$；
（2）0≤t＜3时，$f（x）_{max}=f（0）=\frac{4}{3}$；
（3）t≥3时，$f（x）_{max}=f（t）=\frac{1}{3}{t}^{3}-{t}^{2}+\frac{4}{3}$．
综上可得，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{t}^{3}-{t}^{2}+\frac{4}{3}，-1＜t＜0，或t＞3}\\{\frac{4}{3}，0≤t≤3}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查应用导数求函数的单调区间，函数的极值，同时考查分类讨论的思想方法，必须掌握数学中的这一重要思想方法在解决复杂问题中的应用，结合图象准确分类是正确解题的关键．