Question

在平面直角坐标系内，动圆C过定点F(1,0)，且与定直线x＝－1相切．

(1)求动圆圆心C的轨迹C₂的方程；

(2)中心在O的椭圆C₁的一个焦点为F，直线l过点M(4,0)．若坐标原点O关于直线l的对称点P在曲线C₂上，且直线l与椭圆C₁有公共点，求椭圆C₁的长轴长取得最小值时的椭圆方程．

Answer 1

解析：(1)因为圆心C到定点F(1,0)的距离与到定直线x＝－1的距离相等．

所以由抛物线定义知，C的轨迹C₂是以F(1,0)为焦点，

直线x＝－1为准线的抛物线，所以动圆圆心C的轨迹C₂的方程为y²＝4x.

(2)设P(m，n)，直线l方程为y＝k(x－4)，则OP中点为，

∵O、P两点关于直线y＝k(x－4)对称，

∴即解得

将其代入抛物线方程，得：＝4×，解得k²＝1.

设椭圆C₁的方程为＋＝1，

联列消去y得：(a²＋b²)x²－8a²x＋16a²－a²b²＝0，

由Δ＝(－8a²)²－4(a²＋b²)(16a²－a²b²)≥0，

得a²＋b²≥16，

注意到b²＝a²－1，即2a²≥17，可得a≥，即2a≥，

因此，椭圆C₁长轴长的最小值为，此时椭圆的方程为＝1.