Question

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（2b-c，a）和向量$\overrightarrow{n}$=（cosC，cosA）为共线向量．
（1）求角A的大小；
（2）若BC=6，求BC边上的高h的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据向量共线定理求得∴2b-c）cosA=acosC，根据正弦定理及三角形内角和定理求得cosA，即可求得A的值；
（2）根据余弦定理及基本不等式的关系，即可求得bc的最大值，即可求得△ABC面积的最大值，由S_△ABC=$\frac{1}{2}$•丨BC丨•h，即可求得h的最大值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（2b-c，a和向量$\overrightarrow{n}$=（cosC，cosA为共线向量，
∴（2b-c）cosA=acosC，…2分
由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2R，
∴2（sinB-sinC）cosA=sinAcosC，
即2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sinB．
由于B是三角形的内角，sinB≠0，
则cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$；…6分
（2）由余弦定理可知：a²=b²+c²-2bccosA，
∴36=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
且仅当b=c时取得等号，
∴bc≤36，…10分
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×36×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=9$\sqrt{3}$，
∴当b=c时，△ABC面积的最大值为9$\sqrt{3}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$•丨BC丨•h，
BC边上的高的最大值h=3$\sqrt{3}$，
∴当b=c时，BC边上的高的最大值h=3$\sqrt{3}$．…12分

点评 本题考查向量的共线定理，正弦定理及余弦定理的应用，考查基本不等式的关系，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．