Question

14．设$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$的整数部分为A，小数部分为B
（1）求出A，B；
（2）求A²+B²+$\frac{1}{2}$AB的值；
（3）求$\underset{lim}{n→∞}$（1+B+B²+…+Bⁿ）的值．

Answer 1

分析 （1）将式子分母有理化得到$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，估计$\sqrt{5}$的取值范围确定出整数部分A的值，即可求得小数部分B的值；
（2）将A和B代入A²+B²+$\frac{1}{2}$AB即可求得其值；
（3）由数列B，B²，B³，…，Bⁿ为首项为B公比B的等比数列，利用等比数列前n项和公式求得B+B²+…+Bⁿ，根据B的取值范围，即可求得$\underset{lim}{n→∞}$（1+B+B²+…+Bⁿ）的值．

解答 解：（1）∵2＜$\sqrt{5}$＜3，
而设m=$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
∴2＜2m-3＜3，
解得：2.5＜m＜3，
则：A=2，B=m-2=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
（2）将A=2，B=m-2=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，代入得：
A²+B²+$\frac{1}{2}$AB=4+（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²+$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=5；
（3）数列B，B²，B³，…，Bⁿ为首项为B公比B的等比数列，
∵0＜B＜1，
∴前n项和$\frac{B（1-{B}^{n}）}{1-B}$，
$\underset{lim}{n→∞}$（1+B+B²+…+Bⁿ）=$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{B（1-{B}^{n}）}{1-B}$）=$\frac{1}{1-B}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}$（1+B+B²+…+Bⁿ）=$\frac{1}{1-B}$．

点评 本题考查求得等比数列前n项和公式，考查数列极限的定义及意义，考查计算能力，属于中档题．