Question

17．某电视生产厂家有A，B两种型号的电视机参加家电下乡活动，若厂家投放A，B型号电视机的价值分别为p，q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为$\frac{1}{10}$p，$\frac{2}{5}$ln q万元，已知厂家把总价值为10万元的A、B两种型号的电视机投放市场，且A、B两种型号的电视机投放金额都不低于1万元．
（1）设B型号电视机的价值为x万元（1≤x≤9），农民得到的补贴为f（x）万元，求补贴函数f（x）的解析式；
（2）问应分别投放A，B型号的电视机价值多少万元，才能使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值（精确到0.1，参考数据：ln4≈1.4）

Answer 1

分析 （1）根据补贴关系即可函数f（x）的表达式，
（2）求函数的导数，再利用导数求出此函数的最大值，从而得到分配方案，求出最大值．

解答 解：设B型号电视机的价值为x万元（1≤x＜9），农民得到的补贴为f（x）万元，
则A型号电视机的价值为（10-x）万元，
由题意得，
f（x）=$\frac{1}{10}$（10-x）+$\frac{2}{5}$lnx=$\frac{2}{5}$lnx-$\frac{1}{10}$x+1，（1≤x＜9）．
（2）由（1）知f（x）=$\frac{1}{10}$（10-x）+$\frac{2}{5}$lnx=$\frac{2}{5}$lnx-$\frac{1}{10}$x+1，（1≤x＜9）．
则函数的导数f′（x）=$\frac{2}{5x}$-$\frac{1}{10}$，
由y′=0得，x=4，
当x∈[1，4）时，f′（x）＞0，此时函数递增，
当x∈（4，9]时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，
所以当x=4时，y取最大值，
y_max=$\frac{2}{5}$ln4-0.4+1≈1.2．
即厂家分别投放A、B两型号电视机6万元和4万元时，农民得到补贴最多，最多补贴约1.2万元．

点评 本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．其中利用导数求函数的最值是解题的关键．