Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{x+1}+a（x＞-1）}\\{{x}^{2}-2ax（x≤-1）}\end{array}\right.$的最小值为-6，则实数a的值为-$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 对x讨论，x＞-1时，运用换元法和基本不等式，可得最小值a；当x≤-1时，运用配方，结合二次函数的单调性，可得最小值．由题意讨论a=-6或1+2a=-6或-a²=-6，求得最小值比较即可得到所求a的值．

解答 解：当x＞-1时，x+1＞0，设t=x+1，即x=t-1，
f（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+1}$+a=$\frac{（t-1）^{2}}{t}$+a=t+$\frac{1}{t}$-2+a≥2$\sqrt{t•\frac{1}{t}}$-2+a=a，
当且仅当t=1即x=0时，取得最小值a；
当x≤-1时，f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²，
当a＞-1时，f（x）在（-∞，-1]递减，可得x=-1时，f（x）取得最小值1+2a；
当a≤-1时，f（x）在x=a处取得最小值-a²．
由题意可得当a=-6时，即有-6≤-1，-a²=-36＜-6，
则a=-6不为最小值，不成立；
当-a²=-6，可得a=±$\sqrt{6}$，由a≤-1，可得a=-$\sqrt{6}$．
且-$\sqrt{6}$＞-6成立；
当1+2a=-6，解得a=-$\frac{7}{2}$＜-1，不成立．
综上可得，a=-$\sqrt{6}$．
故答案为：-$\sqrt{6}$．

点评 题考查分段函数的应用：求最值，注意运用分类讨论思想方法，运用基本不等式和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．