Question

3．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，csinC-asinA=（$\sqrt{3}$c-b）sinB．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=1，求三角形ABC面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知等式，再由余弦定理列出关系式，将得出的等式变形后代入求出cosA的值，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）结合基本不等式可得bc≤2+$\sqrt{3}$，再根据面积公式即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）利用正弦定理化简csinC-asinA=（$\sqrt{3}$c-b）sinB．
得：c²+b²-$\sqrt{3}$bc=a²，
即c²+b²-a²=$\sqrt{3}$bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}bc}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵A为三角形内角，
∴A=30°．
（Ⅱ）由（1）可得c²+b²-1=$\sqrt{3}$bc，
∴2bc-1≤$\sqrt{3}$bc，当且仅当b=c时取等号，
∴bc≤$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$=2+$\sqrt{3}$
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{4}$bc≤$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$
∴三角形ABC面积S的最大值$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式的应用，基本不等式，考查了三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键．