Question

14．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象一个最高点为P（$\frac{π}{4}$，2），相邻最低点为Q（$\frac{3π}{4}$，-2），当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由最低点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．

解答 解：由题意可得A=2，$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{3π}{4}$-$\frac{π}{4}$，∴ω=2．
再根据最高点的坐标可得2•$\frac{π}{4}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即 φ=2kπ，再结合|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=0，
∴f（x）=2sin2x．
当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，sin2x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，∴f（x）∈[-$\sqrt{3}$，2]．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由最低点的坐标求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．