Question

19．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且b²+c²-a²=bc，且∠BDC=135°，AC=2$\sqrt{3}$，DB=3．
（1）求∠A的大小；
（2）求 BC．

Answer 1

分析 （1）由已知结合余弦定理可求$cosA=\frac{1}{2}$，结合A的范围即可得解A的值．
（2）由已知可求∠CDA=45°，利用正弦定理可求CD的值，进而利用余弦定理可得BC的值．

解答 解：（1）∵b²+c²-a²=bc，
又∵由余弦定理：b²+c²-a²=2bccosA，
∴于是2bccosA=bc，
∴得$cosA=\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$；
（2）∵∠BDC=135°，可得：∠CDA=45°，
∴由正弦定理$\frac{AC}{sin∠CDA}=\frac{CD}{sinA}$，可得：CD=$\frac{ACsinA}{sin∠CDA}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴由余弦定理可得：BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}-2CD•BD•cos∠CDB}$=3$\sqrt{5}$．
∴$BC=3\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．