Question

观察下面一组组合数等式：
1•

C

1 n

=n•

C

0 n-1

；
2•

C

2 n

=n•

C

1 n-1

；
3•

C

3 n

=n•

C

2 n-1

…
（Ⅰ）由以上规律，请写出第k（k∈N^*）个等式并证明；
（Ⅱ）随机变量X～B（n，p），求证：EX=np．

Answer 1

考点：组合及组合数公式,归纳推理

专题：计算题,证明题,规律型

分析：（I）由已知中的式子，分析出第k（k∈N^*）个等式为：k•

C

k n

=n•

C

k-1 n-1

，k∈N^*，进而根据组合数公式证明可得结论．
（II）将X分解成n个相互独立的，都服从以p为参数的（0-1）分布的随机变量之和：X=X₁+X₂+…+X_n，X_i～b（1，p），i=1，2，…，n．P{X_i=0}=1-p，P（X_i=1）=p．进而可得结论．

解答： 解：（I）由：
1•

C

1 n

=n•

C

0 n-1

；
2•

C

2 n

=n•

C

1 n-1

；
3•

C

3 n

=n•

C

2 n-1

…
可得第k（k∈N^*）个等式为：k•

C

k n

=n•

C

k-1 n-1

，k∈N^*，
证明如下：k•

C

k n

=

kn!

k!(n-k)!

=

n(n-1)!

(k-1)![(n-1)-(k-1)]!

=n•

C

k-1 n-1

证明：（II）将X分解成n个相互独立的，都服从以p为参数的（0-1）分布的随机变量之和：
X=X₁+X₂+…+X_n，X_i～b（1，p），i=1，2，…，n．
P{X_i=0}=1-p，P（X_i=1）=p．
EX_i=0×（1-p）+1×p=p，
E（X_i²）=0²×（1-p）+1²×p=p，
DX_i=E（X_i²）-（EX_i）²=p-p²=p（1-p）．
EX=EX₁+EX₂+…+EX_n=np，

点评：本题考查的知识点是归纳推理，组合数公式，随机变量，熟练掌握排列数公式和组合公式，是解答的关键．