题目内容

13．若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b-2}$取得最小值的实数a=$\frac{2}{3}$．

分析 构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，
∴a+b-2=1，
那么：（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b-2}$）[a+（b-2）]=4+1+（$\frac{4（b-2）}{a}$+$\frac{a}{b-2}$）
≥5+2$\sqrt{\frac{4（b-2）}{a}×\frac{a}{b-2}}$=9，
当且仅当2（b-2）=a时即取等号．
联立$\left\{\begin{array}{l}{2（b-2）=a}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了构造不等式的思想，利用“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．

练习册系列答案
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3．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$与椭圆$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$有相同的焦点；
②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的；
③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|-|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$则动点P的轨迹为椭圆．其中正确的个数是（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．已知正实数a，b 满足a+3b=7，则$\frac{1}{1+a}$+$\frac{4}{2+b}$ 的最小值为$\frac{13+4\sqrt{3}}{14}$．
1．定义在R上的函数 y=f（x） 对任意的x，y∈R，满足条件：f（x+y）=f（x）+f（y）-2，且当x＞0时，f（x）＞2
（1）求f（0）的值；
（2）证明：函数f（x）是R上的单调增函数；
（3）解不等式f（2t2-t-3）-2＜0．
8．若实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}2-y≥0\\ x-3y+2≤0\\ 4x-5y+2≥0\end{array}\right.$，则目标函数z=x+2y的最大值为8．
18．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若$\overrightarrow{NF}=2\overrightarrow{FP}$．
（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：$\frac{k}{k'}$为定值；
（2）若$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{FP}$且△APQ的面积为$\frac{{12\sqrt{15}}}{5}$，求椭圆C的方程．
5．在等比数列{an}中，若公比q=2，S3=7，则S6的值为（　　）
A．56B．58C．63D．64
2．平面向量$\vec a$与$\vec b$的夹角为$\frac{π}{3}$，$\vec a=（2，0），|{\vec b}|=1$，则$|{\vec a+2\vec b}|$等于（　　）
A．2$\sqrt{3}$B．2$\sqrt{2}$C．4D．$\sqrt{10}$
3．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当时x≥0，f（x）=x2+2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）≥x+2．

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