题目内容

1．已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（　　）
A．cosβ=2cosαB．cos2β=2cos2αC．cos2β=2cos2αD．cos2β=-2cos2α

分析 利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简所给的条件，可得结论．

解答 解：∵已知sinθ+cosθ=2sinα，则1+sin2θ=4sin2α，即sin2θ=4sin2α-1，
又sin2θ=2sin2β，∴4sin2α-1=2sin2β，即4•$\frac{1-cos2α}{2}$-1=2•$\frac{1-cos2β}{2}$，
即 cos2β=2cos2α，
故选：C．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．

练习册系列答案
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1．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为9．
2．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$夹角为$\frac{3π}{4}$，且$\overrightarrow a=（1，1）$，$|{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}|=\sqrt{10}$，则|$\overrightarrow b$|=2．
9．已知正项数列{an}满足，a1=1，an+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N+）．
（1）证明数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=（-1）n•n•an•an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
16．如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，PA=AD，则异面直线PB与AC所成的角为（　　）
A．30°B．45°C．60°D．90°
6．已知下列四个命题：p1：若f（x）=2x-2-x，则?x∈R，f（-x）=-f（x）；p2：若函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+1，x≥0\\（{a+2}）{e^{ax}}，x＜0\end{array}\right.$为R上的单调函数，则实数a的取值范围是（0，+∞）；p3：若函数f（x）=xlnx-ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是$（{0，\frac{1}{2}}）$；p4：已知函数f（x）的定义域为R，f（x）满足$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2，x∈[{0，1}）\\ 2-{x^2}，x∈[{-1，0}）\end{array}\right.$且f（x）=f（x+2），$g（x）=\frac{2x+5}{x+2}$，则方程f（x）=g（x）在区间[-5，1]上所有实根之和为-7．其中真命题的个数是（　　）
A．1B．2C．3D．4
13．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，若方程f（x）-kx+$\frac{2}{3}$=0恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（$\frac{2}{3}$，$\frac{\root{3}{{e}^{2}}}{e}$）．
10．已知函数f（x）=lnx．
（Ⅰ）y=kx与f（x）相切，求k的值；
（Ⅱ）证明：当a≥1时，对任意x＞0不等式f（x）≤ax+$\frac{a-1}{x}$-1恒成立．
11．“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；
（2）若从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．

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