Question

10．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=m+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为$5{cos^2}θ+9{sin^2}θ=\frac{45}{ρ^2}$，且直线l经过椭圆C的右焦点F．
（1）求椭圆C的内接矩形PMNQ面积的最大值；
（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的值．

Answer 1

分析 （1）将椭圆的极坐标方程转化成标准方程，设P点坐标，根据二倍角公式及正弦函数的性质，即可求得椭圆C的内接矩形PMNQ面积的最大值；
（2）将参数方程代入椭圆的标准方程，由韦达定理即可求得${t_1}{t_2}=-\frac{25}{8}$，即可求得|FA|•|FB|的值．

解答 解：（1）椭圆C化为5ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=45，∴5x²+9y²=45，
∴椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$．设椭圆C的内接矩形PMNQ中，P的坐标为$（{3cosα，\sqrt{5}sinα}）$，
∴${S_{PMNQ}}=|{4×3cosα×\sqrt{5}sinα}|=|{12\sqrt{5}sinαcosα}|=6\sqrt{5}|{sin2α}|≤6\sqrt{5}$．
∴椭圆C的内接矩形PMNQ面积最大值为$6\sqrt{5}$．
（2）由椭圆C的方程$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$，得椭圆C的右焦点F（2，0），由直线l经过右焦点F（2，0），得m=2，
易得直线l的参数方程可化为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数），代入到5x²+9y²=45，整理得，8t²+10t-25=0，
∴${t_1}{t_2}=-\frac{25}{8}$，即$|{FA}|•|{FB}|=\frac{25}{8}$．
|FA|•|FB|的值$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查椭圆的极坐标与直角坐标的转化，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．