Question

2．在△ABC中若sin²A+sin²B=sin²C-$\sqrt{2}$sinAsinB，则sin2Atan²B最大值是3-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由sin²A+sin²B=sin²C-$\sqrt{2}$sinAsinB，得${a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}-\sqrt{2}ab$，可得角C．
则sin2Atan²B=sin（$\frac{π}{2}$-2B）tan²B=cos2B×$\frac{si{n}^{2}B}{co{s}^{2}B}$=cos2B×$\frac{1-cos2B}{1+cos2B}$
令1+cos2B=t，t∈（1，2），则cos2B×$\frac{1-cos2B}{1+cos2B}$=$\frac{（t-1）（2-t）}{t}$=-（t+$\frac{2}{t}-3$）$≤-（2\sqrt{2}-3）=3-2\sqrt{2}$即可

解答 解：∵△ABC中，有sin²A+sin²B=sin²C-$\sqrt{2}$sinAsinB，∴${a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}-\sqrt{2}ab$
⇒cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{-\sqrt{2}ab}{2ab}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，即C=$\frac{3π}{4}$．
则2A+2B=$\frac{π}{2}$
则sin2Atan²B=sin（$\frac{π}{2}$-2B）tan²B=cos2B×$\frac{si{n}^{2}B}{co{s}^{2}B}$=cos2B×$\frac{1-cos2B}{1+cos2B}$
令1+cos2B=t，t∈（1，2），则cos2B×$\frac{1-cos2B}{1+cos2B}$=$\frac{（t-1）（2-t）}{t}$
=-（t+$\frac{2}{t}-3$）$≤-（2\sqrt{2}-3）=3-2\sqrt{2}$
故t=$\sqrt{2}$时，sin2Atan²B最大值3-2$\sqrt{2}$．
故答案为：3-2$\sqrt{2}$

点评 本题考查了三角恒等变形，正、余弦定理，不等式的性质，属于中档题．