Question

设正项等比数列{a_n}的首项a₁=

1

2

，前n项和为S_n，且2¹⁰S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0．
（1）求{a_n}的通项；
（2）令b_n=

1

(n+1)log 1 2 an

，记{b_n}的前n项和为T_n，求满足不等式T_n＞

11

12

的n的取值范围．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列与不等式的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知，结合等比数列的求和公式可求公比q，然后可求通项
（2）利用裂项法求和，即可得出结论．

解答： 解：（1）当q=1时，2¹⁰•30a₁-（2¹⁰+1）20a₁+10a₁=0．
a₁=0与已知矛盾
∴q≠1
由2¹⁰•S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0
可得q=±

1

2

又∵a_n＞0，q＞0且q≠1
∴q=

1

2

，
∴a_n=（

1

2

）ⁿ；
（2）b_n=

1

(n+1)log 1 2 an

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

∴T_n=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
∴

n

n+1

＞

11

12

，
∴n＞11．

点评：本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．