Question

AB为圆O的直径，点E、F在圆上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面与圆O所在平面互相垂直，已知AB=2，BC=EF=1．
（Ⅰ）求证：BF⊥平面DAF；
（Ⅱ）求多面体ABCDFE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得AD⊥平面ABEF，AD⊥BF，AF⊥BF，由此能证明BF⊥平面DAF．
（Ⅱ）作FA′⊥AB，EB′⊥AB，FD′⊥CD，EC′⊥CD，A′，B′，C′，D′为垂足，多面体ABCDFE的体积V=VFA′D′-EB′C′+2VF-AA′D′D，由此能求出结果．

解答： （本题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为平面ABCD⊥平面ABEF，AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABEF，∴AD⊥BF；
又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，
AF∩AD=A，
∴BF⊥平面DAF．…（6分）
（Ⅱ）解：作FA′⊥AB，EB′⊥AB，FD′⊥CD，EC′⊥CD，
A′，B′，C′，D′为垂足，
则多面体ABCDFE的体积V=VFA′D′-EB′C′+2VF-AA′D′D
=

1

2

×

3

2

×1×1+2×

1

3

×

1

2

×1×

3

2

=

5 3

12

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．