Question

15．f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对?x∈（0，+∞）都有f（f（x）-lnx）=e+1，则方程f（x）-f′（x）=e的实数解所在的区间是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （$\frac{1}{e}$，1）
• C． （1，e）
• D． （e，4）

Answer 1

分析 利用换元法求出函数f（x）的解析式，然后根据函数与方程的关系进行转化，构造函数，判断函数的零点即可得到结论．

解答 解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上单调函数，且对?x∈（0，+∞），都有f（f（x）-lnx）=e+1，
∴设f（x）-lnx=t，则f（t）=e+1，
即f（x）=lnx+t，
令x=t，则f（t）=lnt+t=e+1，
则t=e，
即f（x）=lnx+e，
函数的导数f′（x）=$\frac{1}{x}$，
则由f（x）-f′（x）=e得lnx+e-$\frac{1}{x}$=e，
即lnx-$\frac{1}{x}$=0，
设h（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，
则h（1）=ln1-1=-1＜0，h（e）=lne-$\frac{1}{e}$=1-$\frac{1}{e}$＞0，
∴函数h（x）在（1，e）上存在一个零点，即方程f（x）-f′（x）=e的实数解所在的区间是（1，e），
故选：C．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据函数单调性的性质，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．综合性较强，涉及的知识点较多．