Question

已知函数f（x）=a-

1

2x+1

．
（1）若f（x）为奇函数，求a的值．
（2）证明：不论a为何值f（x）在R上都单调递增．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）利用函数的奇偶性定义，得到解析满足的相应关系式，等价化简后，利用恒成立特征，求出a的值；（2）利用函数单调性，证明原函数的单调性，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，且f（-x）=-f（x）
∴f（0）=a-

1

20+1

=a-

1

2

．
∴a=

1

2

．
（2）∵f（x）的定义域为R，
∴任取x₁x₂∈R且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=(a-

1

2x1+1

)-(a-

1

2x2+1

)
=(

1

2x1+1

-

1

2x2+1

)
=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

．
∵y=2^x在R是单调递增且x₁＜x₂，
∴0＜2x1＜2x2，
∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
∴不论a为何值时f（x）在R上单调递增．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，本题难度不大，属于基础题．