Question

17．设$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是不共线的非零向量，且$\overrightarrow{a}$═$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
（1）证明：$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$可以作为一组基底；
（2）以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为基底，求向量$\overrightarrow{c}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$的分解式；
（3）若4$\overrightarrow{{e}_{1}}$-3$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$，求λ，μ的值．

Answer 1

分析 （1）由条件可看出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$都为非零向量，可假设$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$共线，从而存在k使得$\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$，这样即可得到$（1-k）\overrightarrow{{e}_{1}}+（3+2k）\overrightarrow{{e}_{2}}=\overrightarrow{0}$，从而得到$\left\{\begin{array}{l}{1-k=0}\\{3+2k=0}\end{array}\right.$，显然方程组无解，这样便得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$可以作为一组基底；
（2）可设$\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$，从而得到$\overrightarrow{c}=（x+y）\overrightarrow{{e}_{1}}+（3y-2x）\overrightarrow{{e}_{2}}$，而$\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}$，根据平面向量基本定理即可建立关于x，y的方程组，解出x，y便可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出向量$\overrightarrow{c}$；
（3）方法同（2），根据平面向量基本定理建立关于λ，μ的二元一次方程组，解出λ，μ即可．

解答 解：（1）证明：根据题意，$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$为非零向量；
若$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$共线，则$\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$；
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}=k（\overrightarrow{{e}_{1}}-2\overrightarrow{{e}_{2}}）$；
∴$（1-k）\overrightarrow{{e}_{1}}+（3+2k）\overrightarrow{{e}_{2}}=\overrightarrow{0}$；
∵$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-k=0}\\{3+2k=0}\end{array}\right.$，该方程组无解；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$共线不成立，即$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$不共线；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$可以作为一组基底；
（2）设$\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}=x（\overrightarrow{{e}_{1}}-2\overrightarrow{{e}_{2}}）+y（\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}）$=$（x+y）\overrightarrow{{e}_{1}}+（3y-2x）\overrightarrow{{e}_{2}}$；
又$\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}$；
∴由平面向量基本定理得，$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{3y-2x=-1}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$；
（3）$4\overrightarrow{{e}_{1}}-3\overrightarrow{{e}_{2}}$=$λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow{b}=λ（\overrightarrow{{e}_{1}}-2\overrightarrow{{e}_{2}}）+μ（\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}）$=$（λ+μ）\overrightarrow{{e}_{1}}-（2λ-3μ）\overrightarrow{{e}_{2}}$，且$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线；
∴由平面向量基本定理得，$\left\{\begin{array}{l}{λ+μ=4}\\{2λ-3μ=3}\end{array}\right.$；
解得λ=3，μ=1．

点评 考查向量基底的概念，共线向量基本定理和平面向量基本定理，以及向量的数乘运算，反证法在证明题中的应用．