Question

9．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{t}{2}{x^2}+kx（t＞0，k＞0）$在x=a，x=b处分别取得极大值与极小值，且a，b，-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则t的值等于（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 1

Answer 1

分析 求出b＞a＞0，可得：a，b，-2这三个数可适当排序为-2，a，b或b，a，-2后成等差数列，也可适当排序为a，-2，b或b，-2，a后成等比数列，即可得出．

解答 解：函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{t}{2}{x^2}+kx（t＞0，k＞0）$，
f′（x）=x²-tx+k，
若f（x）在x=a，x=b处分别取得极大值与极小值，
则a，b是方程f′（x）=0的根，
故a+b=t＞0，ab=k＞0，a＜b，
故b＞a＞0，可得：a，b，-2这三个数可适当排序为-2，a，b或b，a，-2后成等差数列，
也可适当排序为a，-2，b或b，-2，a后成等比数列，
∴2a=b-2，（-2）²=ab，
联立解得b=4，a=1，
∴a+b=5=t，
故选：A．

点评 题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．