Question

已知函数f（x）=x-

1

2

ax²-ln（1+x），其中a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求证：

ln2

2

+

ln3

3

+

ln4

4

+…+

ln3n

3n

＜3ⁿ-

5n+6

6

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=0时，f′(x)=

x

x+1

．故f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=0，或x2=

1

a

-1．当0＜a＜1时，列表讨论f（x）与f'（x）的情况能求出f（x）的单调区间．
（3）

In2

2

+

In3

3

+

In4

4

+…+

In3n

3n

=3ⁿ-（

2-ln2

2

+

3-ln3

3

+

4-ln4

4

+…+

3n-ln3n

3n

）＜3ⁿ-

5n+6

6

（n∈N^*）．

解答： 解：（1）∵f（x）=x-

1

2

ax²-ln（1+x），
∴f′（x）=1-ax-

1

1+x

=

x(1-a-ax)

1+x

，x＞-1，
：①当a=0时，f′(x)=

x

x+1

．
故f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=0，或x₂=

1

a

-1．
当0＜a＜1时，f（x）与f'（x）的情况如下：
当a＞0时，令f′（x）=0，得x₁=0，或x₂=

1

a

-1．
当0＜a＜1时，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

所以，f（x）的单调增区间是（0，

1

a

-1）；单调减区间是（-1，0）和（

1

a

-1，+∞）．
当a=1时，f（x）的单调减区间是（-1，+∞）．
当a＞1时，-1＜x₂＜0，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-1，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x2）	↗	f（x1）	↘

所以，f（x）的单调增区间是（

1

a

-1，0）；单调减区间是（-1，

1

a

-1）和（0，+∞）．
③当a＜0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
综上，当a≤0时，f（x）的增区间是（0，+∞），减区间是（-1，0）；
当0＜a＜1时，f（x）的增区间是（0，

1

a

-1），减区间是（-1，0）和（

1

a

-1，+∞）；
当a=1时，f（x）的减区间是（-1，+∞）；
当a＞1时，f（x）的增区间是（

1

a

-1，0）；减区间是（-1，

1

a

-1）和（0，+∞）．
（3）证明：

In2

2

+

In3

3

+

In4

4

+…+

In3n

3n

=（1+

ln2-2

2

）+（1+

ln3-3

3

）+（1+

ln4-4

4

）+…+（1+

1n3n-3n

3n

）
=3ⁿ-（

2-ln2

2

+

3-ln3

3

+

4-ln4

4

+…+

3n-ln3n

3n

）
＜3ⁿ-

5n+6

6

（n∈N^*）．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．