Question

8．若定义域为R的偶函数y=f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，且当x∈[0，2]时，f（x）=2-x²，则方程f（x）=2sinx在[-3π，3π]内根的个数是5．

Answer 1

分析 先求得偶函数f（x）的周期为4，根据当x∈[0，2]时，f（x）=2-x²，再画出y=f（x）以及y=2sinx在[-3π，3π]内的图象，数形结合可得结论．

解答 解：定义域为R的偶函数y=f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，即足f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），故f（x）的周期为4．
且当x∈[0，2]时，f（x）=2-x²，则当x∈[-2，2]时，f（x）=2-x² ．
再画出y=f（x）以及y=2sinx在[-3π，3π]内的图象，如图所示：
数形结合可得函数y=f（x）的图象和函数y=2sinx在[-3π，3π]内的图象的交点个数为5个，
则方程f（x）=2sinx在[-3π，3π]内根的个数是5，
故答案为：5．

点评 本题主要考查函数的奇偶性以及函数的周期性，方程的根的存在性以及个数判断，函数的图象，属于中档题．