题目内容
16．
某农科所发现，一种作物的年收获量 y（单位：kg）与它“相近”作物的株数 x具有线性相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过 1m），并分别记录了相近作物的株数为 1，2，3，5，6，7时，该作物的年收获量的相关数据如表：| x | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 | 7 |
| y | 60 | 55 | 53 | 46 | 45 | 41 |
（2）农科所在如图所示的直角梯形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，图中
每个小正方形的边长均为 1，若从直角梯形地块的边界和内部各随机选取一株该作物，求这两株作物“相
近”且年产量仅相差3kg的概率．
附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估
计分别为，$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$a=\overline y-b\overline x$．
分析 （1）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数$\widehat{b}$、$\widehat{a}$，即可写出回归方程；
（2）由（1）中回归直线过程计算x=4时$\stackrel{∧}{y}$的值，
根据古典概型的概率公式计算对应的概率值．
解答 解：（1）计算$\overline{x}$=$\frac{1}{6}$×（1+2+3+5+6+7）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$×（60+55+53+46+45+41）=50，
$\sum_{i=1}^{6}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）=（-3）×10+（-2）×5+（-1）×3+1×（-4）+2×（-5）+3×（-9）=-84，
$\sum_{i=1}^{6}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=（-3）2+（-2）2+（-1）2+12+22+32=28；
∴回归系数为$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{-84}{28}$=-3，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=50-（-3）×4=62，
∴该作物的年收获量y关于它“相近”作物的株数x的线性回归方程是$\stackrel{∧}{y}$=-3x+62；
（2）由（1）中回归直线过程知，
当x=4时，$\stackrel{∧}{y}$=-3×4+62=50；
从直角梯形地块的边界和内部各随机选取一株该作物，共有 10×2=20种情形，
因为这两株作物年产量仅相差3kg，故满足条件的情形有4种，
所以这两株作物“相近”且年产量仅相差 3kg的概率为$\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$．
点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．
A加金题 系列答案
全优测试卷系列答案| x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 9 | 12 |
| y | 1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 |
（Ⅰ）请根据表中数据在所给网格中绘制散点图；
（Ⅱ）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$（其中$\widehatb$保留2位有效数字）；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的计算结果，若该蔬菜商店买进土豆40吨，则预计可以销售多少天（计算结果保留整数）？
附：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．