题目内容

圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（x，y）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）．
（1）试用x，y，m，n的代数式分别表示xE和xF；
（2）若C的方程为（如图），求证：xE•xF是与MN和点P位置无关的定值；
（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究xE和xF经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与MN和点P位置无关的定值，写出你的研究结论并证明．

【答案】分析：（1）求出PM 直线的方程，令y=0，求出xE，同理求得xF ．
（2）由（1）可知：．把M，P坐标代入椭圆的方程，求出n2，y2  代入
xE•xF的式子，化简可得结论．
（3）第一层次：①点P是圆C：x2+y2=R2上不与坐标轴重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE•xF =R2 ．证法同（2）．
②点P是双曲线C：上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
 直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE•xF=a2 ．证法同（2）．
第二层次：点P是抛物线C：y2=2px（p＞0）上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE+xF =0．
解答：解：（1）因为MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，所以，N（m，-n），
则． 令y=0，则．
同理可得：．
（2）由（1）可知：．∵M，P在椭圆C：上，
∴，
则（定值）
∴xE•xF是与MN和点P位置无关的定值．
（3）第一层次：
①点P是圆C：x2+y2=R2上不与坐标轴重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE•xF =R2 ．
证明如下：由（1）知：，∵M，P在圆C：x2+y2=R2上，
∴n2=R2-m2，y2=R2-x2，则，
∴xE•xF是与MN和点P位置无关的定值．
②点P是双曲线C：上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
 直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE•xF=a2 ．
证明如下：由（1）知：，∵M，P在双曲线C：上，
∴，
则
∴xE•xF是与MN和点P位置无关的定值．
第二层次：
点P是抛物线C：y2=2px（p＞0）上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE+xF =0．
证明如下：由（1）知：，∵M，P在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，
∴y2=2px，n2=2pm，则，
∴xE+xF是与MN和点P位置无关的定值．
点评：本题考查椭圆、圆、双曲线、抛物线的简单性质，以及求直线和二次曲线的交点坐标的方法．
练习册系列答案
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精英家教网圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（x0，y0）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）．
（1）试用x0，y0，m，n的代数式分别表示xE和xF；
（2）若C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)（如图），求证：xE•xF是与MN和点P位置无关的定值；
（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究xE和xF经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与MN和点P位置无关的定值，写出你的研究结论并证明．
精英家教网圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知椭圆C：
x2
4
+y2=1．
（1）过椭圆C的右焦点作一条垂直于x轴的垂轴弦MN，求MN的长度；
（2）若点P是椭圆C上不与顶点重合的任意一点，MN是椭圆C的短轴，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）（如图），求xE?xF的值；
（3）在（2）的基础上，把上述椭圆C一般化为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，MN是任意一条垂直于x轴的垂轴弦，其它条件不变，试探究xE?xF是否为定值？（不需要证明）；请你给出双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)中相类似的结论，并证明你的结论．
圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（
x0，y0）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP，NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）．
（Ⅰ）试用x0，y0，m，n的代数式分别表示xE和xF；
（Ⅱ）已知“若点P（x0，y0）是圆C：x2+y2=R2上的任意一点（
x0•y0≠0），MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE•xF=R2”．类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)（如图），则xE•xF也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明．

圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。已知点、是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直线分别交轴于点和点。

（1）试用的代数式分别表示和；

（2）若C的方程为（如图），求证：是与和点位置无关的定值；

（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究和经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。

 
圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（
x，y）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP，NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）．
（Ⅰ）试用x，y，m，n的代数式分别表示xE和xF；
（Ⅱ）已知“若点P（x，y）是圆C：x2+y2=R2上的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则”．类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为（如图），则xE•xF也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明．

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