Question

圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知椭圆C：

x2

4

+y2=1．
（1）过椭圆C的右焦点作一条垂直于x轴的垂轴弦MN，求MN的长度；
（2）若点P是椭圆C上不与顶点重合的任意一点，MN是椭圆C的短轴，直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0）（如图），求x_E?x_F的值；
（3）在（2）的基础上，把上述椭圆C一般化为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，MN是任意一条垂直于x轴的垂轴弦，其它条件不变，试探究x_E?x_F是否为定值？（不需要证明）；请你给出双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)中相类似的结论，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1） 把右焦点的横坐标 x=

3

代入椭圆C的方程，求得y=±

1

2

，故得 MN=1．
（2）设 P（x₀，y₀），求出的l_MP 方程，令 y=0，则 得x_E，同理求得 x_F，再根据M，P 在椭圆C上，计算出x_E•x_F的值．
（3）先判断x_E•x_F 为定值，再进行证明，先求出x_E 和x_F的值，再利用M，P 在双曲线上，得到坐标间的关系，代入x_E•x_F 的表达式进行运算．

解答：解：（1）由条件可知右焦点的坐标为（

3

，0），x=

3

代入椭圆C的方程

x2

4

+y2=1，
得y=±

1

2

，所以，MN=1．
（2）设 P（x₀，y₀），M（0，1），N （0，-1），则 l_MP：y-1=

y0-1

x0

 x，
令 y=0，则  x_E=

-x0

y0-1

，同理可得：x_F=

x0

y0+1

，∴x_E•x_F=

-x02

y02-1

．
∵M，P 在椭圆C：

x2

4

+y2=1 上，∴y02= 1-

x02

4

，
则 x_E•x_F=

-x02

(1- x02 4 )-1

=

-x02

1 4  (-x02 )

=4．
（3）点P是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
直线 MP、MN分别交x轴于点E （x_E，0）和点F（x_F，0），则 x_E•x_F=a²．
点P是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP，
MN分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0），则 x_E•x_F=a²．
证明如下：设M（m，n），N（m，-n），P（x₀，y₀），则 l_MP：y-n=

y0-m

x0-m

(x-m)，
令 y=0，则  x_E=

my0-nx0

y0-n

，同理可得：x_F=

my0+nx0

y0+n

，x_E•x_F=

m2y02-n2x02

y02-n2

．
∵M，P 在双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0) 上，∴n²=b² （

m2

a2

-1），y₀²=b²（

x02

a2

-1），
则  x_E•x_F=

m2b2( x02 a2 -1)-b2( m2 a2 -1)x02

b2( x02 a2 -1)-b2( m2 a2 -1)

=

b2(x02-m2)

b2 a2 (x02-m2)

=a²．

点评：本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用．