Question

圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（x₀，y₀）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0）．
（1）试用x₀，y₀，m，n的代数式分别表示x_E和x_F；
（2）若C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)（如图），求证：x_E•x_F是与MN和点P位置无关的定值；
（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究x_E和x_F经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与MN和点P位置无关的定值，写出你的研究结论并证明．

Answer 1

分析：（1）求出PM 直线的方程，令y=0，求出x_E，同理求得x_F ．
（2）由（1）可知：xE•xF=

m2y02-n2x02

y02-n2

．把M，P坐标代入椭圆的方程，求出n²，y₀²  代入
x_E•x_F的式子，化简可得结论．
（3）第一层次：①点P是圆C：x²+y²=R²上不与坐标轴重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0），则x_E•x_F =R² ．证法同（2）．
②点P是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
 直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0），则x_E•x_F=a² ．证法同（2）．
第二层次：点P是抛物线C：y²=2px（p＞0）上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0），则x_E+x_F =0．

解答：解：（1）因为MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，所以，N（m，-n），
则lMP：y-n=

y0-n

x0-m

(x-m)． 令y=0，则xE=

my0-nx0

y0-n

．
同理可得：xF=

my0+nx0

y0+n

．
（2）由（1）可知：xE•xF=

m2y02-n2x02

y02-n2

．∵M，P在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1上，
∴n2=b2(1-

m2

a2

)，y02=b2(1-

x02

a2

)，
则xE•xF=

m2b2(1- x02 a2 )-b2(1- m2 a2 )x02

b2(1- x02 a2 )-b2(1- m2 a2 )

=

b2(m2-x02)

b2 a2 (m2-x02)

=a2（定值）
∴x_E•x_F是与MN和点P位置无关的定值．
（3）第一层次：
①点P是圆C：x²+y²=R²上不与坐标轴重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0），则x_E•x_F =R² ．
证明如下：由（1）知：xE•xF=

m2y02-n2x02

y02-n2

，∵M，P在圆C：x²+y²=R²上，
∴n²=R²-m²，y₀²=R²-x₀²，则xE•xF=

m2(R2-x02)-(R2-m2)x02

(R2-x02)-(R2-m2)

=

R2(m2-x02)

(m2-x02)

=R2，
∴x_E•x_F是与MN和点P位置无关的定值．
②点P是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
 直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0），则x_E•x_F=a² ．
证明如下：由（1）知：xE•xF=

m2y02-n2x02

y02-n2

，∵M，P在双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
∴n2=b2(

m2

a2

-1)，y02=b2(

x02

a2

-1)，
则xE•xF=

m2b2( x02 a2 -1)-b2( m2 a2 -1)x02

b2( x02 a2 -1)-b2( m2 a2 -1)

=

b2(x02-m2)

b2 a2 (x02-m2)

=a2
∴x_E•x_F是与MN和点P位置无关的定值．
第二层次：
点P是抛物线C：y²=2px（p＞0）上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0），则x_E+x_F =0．
证明如下：由（1）知：xE+xF=

2(my02-n2x0)

y02-n2

，∵M，P在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，
∴y₀²=2px₀，n²=2pm，则xE+xF=

2(my02-n2x0)

y02-n2

=

2(m2px0-2pmx0)

y02-n2

=0，
∴x_E+x_F是与MN和点P位置无关的定值．

点评：本题考查椭圆、圆、双曲线、抛物线的简单性质，以及求直线和二次曲线的交点坐标的方法．