题目内容

圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（
x0，y0）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP，NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）．
（Ⅰ）试用x0，y0，m，n的代数式分别表示xE和xF；
（Ⅱ）已知“若点P（x0，y0）是圆C：x2+y2=R2上的任意一点（
x0•y0≠0），MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE•xF=R2”．类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)（如图），则xE•xF也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明．
分析：（Ⅰ）求出直线lMP 方程，令y=0，可得xE，同理求出直线lNP 方程，令y=0，求得xF；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，利用M，P 在椭圆C上，计算出xE•xF的值，即可得到结论．
解答：（Ⅰ）解：因为MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，所以N（m，-n），
则lMP：y-n=
y0-m
x0-m
(x-m)                                      …（2分）
令y=0，则xE=
my0-nx0
y0-n
                                      …（4分）
同理可得：xF=
my0+nx0
y0+n
，…（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：xE•xF=
my0-nx0
y0-n
×
my0+nx0
y0+n
=
m2y
2
0
-n2x
2
0
y
2
0
-n2
，…（8分）
∵M，P在椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上，
∴n2=b2(1-
m2
a2
)，
y
2
0
=b2(1-
x02
a2
)，…．（10分）
∴xE•xF=
m2y
2
0
-n2x
2
0
y
2
0
-n2
=
b2(m2 - x
2
0
)
b2
a2
(m2-x
2
0
)
=a2（定值）．
∴xE•xF是与MN和点P位置无关的定值．…（15分）
点评：本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
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精英家教网圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（x0，y0）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）．
（1）试用x0，y0，m，n的代数式分别表示xE和xF；
（2）若C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)（如图），求证：xE•xF是与MN和点P位置无关的定值；
（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究xE和xF经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与MN和点P位置无关的定值，写出你的研究结论并证明．
精英家教网圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知椭圆C：
x2
4
+y2=1．
（1）过椭圆C的右焦点作一条垂直于x轴的垂轴弦MN，求MN的长度；
（2）若点P是椭圆C上不与顶点重合的任意一点，MN是椭圆C的短轴，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）（如图），求xE?xF的值；
（3）在（2）的基础上，把上述椭圆C一般化为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，MN是任意一条垂直于x轴的垂轴弦，其它条件不变，试探究xE?xF是否为定值？（不需要证明）；请你给出双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)中相类似的结论，并证明你的结论．

圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。已知点、是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直线分别交轴于点和点。

（1）试用的代数式分别表示和；

（2）若C的方程为（如图），求证：是与和点位置无关的定值；

（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究和经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。

 
圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（
x，y）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP，NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）．
（Ⅰ）试用x，y，m，n的代数式分别表示xE和xF；
（Ⅱ）已知“若点P（x，y）是圆C：x2+y2=R2上的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则”．类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为（如图），则xE•xF也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明．

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