题目内容
圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。已知点
、
是圆锥曲线C
上不与顶点重合的任意两点，
是垂直于
轴的一条垂轴弦，直线
分别交轴于点
和点
。
（1）试用
的代数式分别表示
和
；
（2）若C的方程为
（如图），求证：
是与和点
位置无关的定值；
（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究和经过某种四则运算（加、减、乘、除），其
结果是否是与和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。
【答案】
（1）
，
（2）证明略
（3）略
【解析】（1）因为
是垂直于
轴的一条垂轴弦，所以
则
……………2分
令
则……………. 4分
同理可得：，……………. 6分
（2）由（1）可知：
……………. 8分
在椭圆C：
上，
，
则
（定值）
是与和点
位置无关的定值 ……12分
（3）第一层次：
①点是圆C：
上不与坐标轴重合的任意一点，是垂直于
轴的垂轴弦，直线
分别交轴于点
和点
，则
。……………. 16分
证明如下：由（1）知：
在圆C：上，
，
则
是与和点位置无关的定值
②点是双曲线C：
上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则
。…………… 16分
证明如下：由（1）知：
在双曲线C：
上，
，
则
是与和点位置无关的定值
第二层次：
点是抛物线C：
上不与顶点重合的任意一点，是垂直于
轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则
。…………18分
证明如下：由（1）知：
，
在抛物线C：上，
则
是与和点位置无关的定值
练习册系列答案
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圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（x0，y0）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）．
圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知椭圆C：
圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（
”．类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为
（如图），则xE•xF也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明．