Question

6．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．
（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；
（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．

Answer 1

分析 （I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；
（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．

解答 解：（I）曲线C的直角坐标方程为x²+3y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
∴曲线C的左焦点F的坐标为F（-2$\sqrt{2}$，0）．
∵F（-2$\sqrt{2}$，0）在直线l上，
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
将直线l的参数方程代入x²+3y²=12得：t²-2t-2=0，
∴|FA|•|FB|=|t₁t₂|=2．
（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0$＜x＜2\sqrt{3}$，0＜y＜2），
则x²+3y²=12，∴x=$\sqrt{12-3{y}^{2}}$．
∴P=4x+4y=4$\sqrt{12-3{y}^{2}}$+4y．
令f（y）=4$\sqrt{12-3{y}^{2}}$+4y，则f′（y）=$\frac{-12y}{\sqrt{12-3{y}^{2}}}+4$．
令f′（y）=0得y=1，
当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．
∴当y=1时，f（y）取得最大值16．
∴P的最大值为16．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，函数的最值，参数方程的几何意义，属于中档题．