题目内容
16．设单位向量$\overrightarrow{e_1}$与$\overrightarrow{e_2}$既不平行也不垂直，对非零向量$\overrightarrow a={x_1}\overrightarrow{e_1}+{y_1}\overrightarrow{e_2}$、$\overrightarrow b={x_2}\overrightarrow{e_1}+{y_2}\overrightarrow{e_2}$有结论：①若x1y2-x2y1=0，则$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$；
②若x1x2+y1y2=0，则$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$．
关于以上两个结论，正确的判断是（ ）
| A． | ①成立，②不成立 | B． | ①不成立，②成立 | C． | ①成立，②成立 | D． | ①不成立，②不成立 |
分析 ①假设存在实数λ使得$\overrightarrow{a}$=$λ\overrightarrow{b}$，则${x}_{1}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{1}\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ$（{x}_{2}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{2}\overrightarrow{{e}_{2}}）$，由于向量$\overrightarrow{e_1}$与$\overrightarrow{e_2}$既不平行也不垂直，可得x1=λx2，y1=λy2，即可判断出结论．
②若x1x2+y1y2=0，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=（${x}_{1}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{1}\overrightarrow{{e}_{2}}$）•$（{x}_{2}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{2}\overrightarrow{{e}_{2}}）$=x1x2+y1y2+（x2y1+x1y2）$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=（x2y1+x1y2）$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$，无法得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，因此$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$不一定正确．
解答 解：①假设存在实数λ使得$\overrightarrow{a}$=$λ\overrightarrow{b}$，则${x}_{1}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{1}\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ$（{x}_{2}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{2}\overrightarrow{{e}_{2}}）$，∵向量$\overrightarrow{e_1}$与$\overrightarrow{e_2}$既不平行也不垂直，∴x1=λx2，y1=λy2，
满足x1y2-x2y1=0，因此$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$．
②若x1x2+y1y2=0，
则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=（${x}_{1}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{1}\overrightarrow{{e}_{2}}$）•$（{x}_{2}\overrightarrow{{e}_{1}}+{y}_{2}\overrightarrow{{e}_{2}}）$=x1x2+y1y2+（x2y1+x1y2）$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=（x2y1+x1y2）$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$，无法得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，因此$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$不一定正确．
故选：A．
点评 本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
